Pokušavajući našim učiteljima/nastavnicima omogućiti uvid na hrvatskom  jeziku neke temeljne svjetske knjige potrebne u promišljanju reforme matematičkog kurikula kao urednik u tri izdavačke kuće objavio sam sljedeće naslove.

1.]  Kao maturalni rad trojica mojih učenika preveli su američki dokument „Standardi za nastavu matematike“ koju je napisala udruga Nacional Council of Teacher of Mathematics. Taj maturalni rad sam objavio 2000. godine. (Jedan od tih učenika danas je profesor na Ekonomskom fakultetu u Zagrebu.)

2.]  Godine 2003. objavljen je prijevod knjige G. Polya Matematičko otkriće.

3.]  Godine 2003. Objavljen je prijevod knjige G. I. Gleizer Povijest matematike za školu.

4.]  Godine 2004. Objavljen je prijevod knjige B. Pelle Tako poučavamo matematiku.

Već naslovi ovih knjiga ukazuju o namjerama usmjerenim na reformu matematičkog kurikula. Pažljivo njihovo čitanje daje objektivne i znanstvene argumente koje svaka suvremena reforma mora „ugraditi“ u svoje dokumente.

Dakle, prije 20-ak godina upozoreno je što i kako u reformu treba „ugraditi“.

U ovom tekstu osvrnut ćemo se samo na dva aspekta: standarde i uporabu tehnologije.

*  *  *  *  *  *

Naznačit ću ovdje koji su to sve standardi koje moderna nastava matematike treba realizirati. Naravno, specificirano od 1. – 4., 5. – 8. razreda osnovne škole te od 1. – 4. razreda srednje škole. Čitatelj nakon toga može “vidjeti” jesu li i koji su standardi i materijali “ugrađeni” u službeni matematički kurikul u RH.

U kontekstu tih standarda osvrnut ću se i na uporabu tehnologije (džepnog računala, PC-ja/laptopa, tableta te edukacijskog softvera) kao i na uporabu e-materijala i komunikacije učenik – učitelj.

*  *  *  *  *  *

Standardi za nastavu matematike koje su definirali na svjetskoj razini  Nacional Council of Teachers of Mathematics (NCTM) elaboriraju se 54 standarda:

    ♦ od 1. – 4. razreda osnovne škole – 13 standarda,

    ♦ od 5. – 8. razreda osnovne škole – 13 standarda,

    ♦ od 1. – 4. razreda srednje škole – 14 standarda,

    ♦ za ocjenjivanje – 14 standarda.

Prvih 4 standarda nazivom je svim razredima zajedničko kao i standardi  Geometrija, Statistika i  Vjerojatnost. Naravno, sadržajno i zahtjevno sukladno uzrastu učenika. Ostali se standardi pojavljuju razvojno poštujući specifičnosti uzrasta učenika.  Mjerenje je u temeljima matematike prvih osam razreda, dok se u srednjoj školi više pozornosti posvećuje računanju u kojem je mjerenje već “učinjeno”.

STANDARDI

Početni razredi (od 1. do 4.) naglašavaju iskustveni matematički jezik prirodnih brojeva, pravih razlomaka i opisne geometrije. U razredima od 5. do 8. iskustvena matematika naglašava ostale brojeve i pomaknuta je na izgradnju apstraktnog matematičkog jezika potrebnog za algebru i druga područja matematike. Matematika u srednjoj školi naglašava funkcije, njihove uloge i uporabe, modeliranje i deduktivne dokaze.

A]  Standardi za razrede od 1. – 4. osnovne škole

Nastavni je plan pojmovno orijentiran, na aktivno uključivanje djece u rad matematike, naglašava razvoj sposobnosti mišljenja i zaključivanja djece, naglašava primjenu matematike, potiče prikladnu i neprestanu uporabu džepnih računala i računala.

Džepna računala ne zamjenjuju potrebu za usvajanjem temeljnih činjenica, računanjem napamet ili smisleno računanje s papirom i olovkom.

Promišljena i kreativna uporaba tehnologije može uveliko poboljšati kvalitetu nastave i učenja. Uklapanje džepnih računala i računala u školske matematičke programe je presudno za ispunjavanje ciljeva redefiniranog nastavnog plana.

B] Standardi za razrede od 5. – 8. osnovne škole

Nastavni plan ima sljedeća obilježja:

    ■ problemske situacije koje stvaraju potrebu za novim idejama i pokreću učenike,

    ■ komunikaciju sa i o matematici i matematičko rasuđivanje,

    ■  podučavanje širokog raspona tema kao integriranu cjelinu, a ne kao odvojena područja,

    ■ uporabu tehnologije koja daje novi smisao proučavanju sadržaja.

C]  Standardi za razrede od 1. – 4. srednje škole

U nastavi se rabe raznolike metode učenja. Osim tradicionalne demonstracije nastavnika i razgovora koje vodi nastavnik, radi se u malim skupinama, pojedinačno se istražuje, međusobno pomaže, a rasprave cijelog razreda nastavnik samo nadgleda.

Ove metode podučavanja mijenjaju ulogu nastavnika od onoga koji upravlja prema onome koji katalizira i podučava. Uvođenje novih tema i većine ciljeva kad god je to moguće, uključuju problemske situacije iz okruženja koje potiču učenike na istraživanje, formuliranje i testiranje pretpostavki, dokazivanje generalizacija te na raspravljanje i uporabu njihovih istraživanja. Takav pristup poučavanju omogućava učenicima kreativno i neovisno učenje matematike kao i jačanje vještine i povjerenja u učenju matematike.

Zbog lakše usporedbe i praćenja ove standarde stavljamo u tablicu s tri stupca.

D]  Standardi ocjenjivanja

Sedam standarda odnosi se na ocjenjivanje učenika, tri se odnose na opću procjenu, a posljednja četiri na procjenu programa.

 OPĆA PROCJENA

    1.  Usklađenost

    2.  Razni izvori informiranja

    3.  Prikladne metode i uporabe ocjenjivanja

    4.  Moć matematike

 PROCJENA UČENIKA

    1.  Rješavanje problema

    2.  Sporazumijevanje

    3.  Zaključivanje

    4.  Matematički pojmovi

    5.  Matematički postupci

    6.  Sklonost prema matematici

    7.  Pokazatelji procjene programa

 PROCJENA PROGRAMA

    1.  Nastavni plan i izvori poučavanja

    2.  Nastava

    3.  Skupina za procjenu

UPORABA TEHNOLOGIJE

Za socijalni i ekonomski pomak zaslužna je dostupnost džepnih računala, računala i ostalih tehnoloških dostignuća.

Uporaba tehnologije drastično mijenja prirodu humanističkih i prirodnih znanosti.

Informacija je novi kapital i novi materijal, a komunikacija novo sredstvo proizvodnje.

Dosadašnji školski sustav ne ispunjava današnje ekonomske potreba.

 Novi socijalni ciljevi izobrazbe uključuju:

    1.]  matematički pismene građane,

    2.]  doživotno učenje,

    3.]  šansu za sve,

    4.]  informirano biračko tijelo.

 Henry Polak, poznati matematičar, sažeo je matematička očekivanja za nove zaposlenike:

    ■ sposobnost postavljanja problema s odgovarajućim operacijama,

    ■ znanje o raznim tehnikama pristupanja problemima i radu na njima,

    ■ razumijevanje bitnih osobina problema,

    ■ sposobnost zajedničkog rada na problemima,

    ■ sposobnost uviđanja mogućnosti primjene matematičkih ideja na opće i složenije probleme,

    ■ pripremanje za situacije otvorenih problema,

    ■ vjerovanje u korisnost i vrijednost matematike.

[A] Uporaba tehnologije od 1. – 4. razreda osnovne škole

Nastavni plan potiče prikladnu i neprestanu uporabu džepnih računala i računala.

Njihova promišljena i kreativna uporaba podiže kvalitetu nastave i učenja.

Evo jednog primjera! Pomoću dvostrane vage treba odrediti vrijednosti pojedinog lika. Dinamičnim virtualnim manipuliranjem likova na vagi lako se dolazi do odgovora.

Jezici računala, koji su geometrijski po prirodi, pomažu mlađoj djeci da se upoznaju s važnim geometrijskim idejama. Pravokutnik s kvadratićima služi kao model faktorizacije nekog broja. Dinamične promjene duljine i širine pravokutnika kojemu ukupni broj kvadratića ostaje isti su promišljena i kreativna uporaba softvera dinamične geometrije.    

[B] Uporaba tehnologije od 5. – 8. razreda osnovne škole

Tehnologija, uključujući računala, džepna računala, tablete i videozapise, uporabljuje se prema potrebi.

Ta sredstva i pomagala oslobađaju učenike od dosadnih računanja i omogućavaju im koncentrirati se na rješavanje problema i na druge važne sadržaje.

Računalni program dinamične geometrije omogućuje učenicima, primjerice, istraživanje u kojem trebaju zaključiti kakav četverokut čine polovišta stranica nekog drugog četverokuta.

I mora li taj početni četverokut biti konveksan ili ne?

[C] Uporaba tehnologije od 1. – 4. razreda srednje škole

Džepna računala i računala s odgovarajućim programima/softverom pretvaraju matematičku učionicu u laboratorij vrlo sličan znanstvenim učionicama gdje učenici koriste tehnologiju za istraživanje, naslućivanje te za potvrđivanje njihovih otkrića.

Evo jednog primjera za istraživanje! I otkriće nove činjenice koja nije poznata u “svakodnevnoj” školskoj matematici!

Kad se četverokutu može upisati kružnica?

Poznato je da se kvadratu može upisati, ali pravokutniku ne!

A što je s ostalim četverokutima?

(U četverokut se može upisati kružnica kad dvije unutarnje upisane kružnice imaju zajedničko diralište na dijagonali četverokuta.)

 Ovo smo otkriće kolegica Jelena Gusić i moja malenkost objavili 2001. godine u časopisu Poučak. Nedavno je na međunarodnoj i domaćoj razini ta naša tvrdnja nazvana Teorem Gusić-Mladinić.

To je objavljeno u članku Michaela de Villiersa: The Tangential or Circumscribed Quadrilateral u časopisu Learning & Teaching Mathematics, No. 29, December 2020, pp. 39-45 te u časopisu Poučak br. 84., Zagreb, prosinac 2020., str. 47.-48.

Iz teorema je vidljivo zašto se pravokutniku ne može upisati kružnica.

Prije nego se nacrta pomoću računala, postavi se hipoteza/hipotetički odgovor. I nakon crtanja grafova valorizacija naslućivanja/hipoteze nam daje novo iskustvo!

U polarnom koordinatnom sustavu ti grafovi drukčije izgledaju!

Može se nastaviti razmatrati grafove ovih funkcija i zapitati se: što se događa s grafovima, ako se varijabla pomnoži s nekim parametrom ?

 Rezultat razmatranja je “iznenađenje” za sve učenike i veliki broj nastavnika jer nemaju znanja i/ili iskustva s ovakvim grafovima. I mogu se “otkriti” ili naslutiti uloge pravokutnog i polarnog koordinatnog sustava u vizualizaciji funkcija tj. njihove veze s geometrijskim transformacijama (translacijom, rotacijom ).

Računalo omogućuje, nakon što se nacrta kružnica, uočiti da su ove dvije funkcije  inverzne jedna drugoj tj. da su njihovi grafovi  simetrični s obzirom na kružnicu.

 Ta činjenica, nadalje, otvara nova pitanja, istraživanja i “otkrića”.

Iskustvo s različitim vizualizacijama ili prezentacijama mora biti omogućeno svim učenicima.

No, kako će to biti moguće kad ni nastavnici ne znaju kako se vizualizira, primjerice, kocka?

 Pogledate primjere crteža koje sam predstavio na dva seminara na državnoj razini za učitelje/nastavnike u RH i na jednom u R. Sloveniji (vidi sliku).

Pitao sam nazočne (njih više od 800 nastavnika!) koji od ovih 9 crteža predstavlja kocku?

Svi, ali baš svi, su odgovorili da samo prva slika prikazuje kocku. A to nije točno, jer svi ostali crteži su matematički prikazi kocke.

Računalo danas u nastavi omogućuje, između niza stvari, i efikasno spajanje različitih područja školske matematike.

Razmislite, primjerice, o sljedeća tri zadatka.

Zadatak 1. Neka je tlocrtna ravnina realna Kartezijeva, nacrtna imaginarna, a bokocrtna Gaussova kompleksna. U tlocrtu se nacrta kosinusoida, a u nacrtu sinusoida. Što je bokocrt? Kako izgleda u 3D tijelo čije su to projekcije?

Zadatak 2. Može li se funkcijom sinus nacrtati kocka?

Zadatak 3. Tlocrt, nacrt i bokocrt nekog tijela su redom kružnica, kvadrat i jednakostranični trokut. Postoji li takvo tijelo? Ako postoji, može li se nacrtati? Ako postoji može li imati kakvu realnu uporabnu vrijednost? A izračunati oplošje i obujam?

*  *  *

Izrada e-materijala i njihova uporaba u nastavi matematike

Izdavači udžbenika u RH “prisiljeni” su odlukama MZO-a o udžbenicima iskreirati veliki broj pratećih e-materijala. Vrijednost tih materijala i njihova uporaba u nastavi nikada nije uopće evaluirana. I nitko ne zna koji su njezini dosezi i uporabna edukacijska vrijednost.

 Hrvatska udruga nastavnika istraživača (HUNI) izradila je više od 300 gotovih digitalnih radova koji su stavljeni na web stranici OVDJE. Uporaba tih materijala je besplatna.

Te datoteke početno “pokrivaju” sadržaje za sve razreda osnovne i srednje škole kao i neke sadržaje za studente.

U tim su radovima dosljedno “zastupljeni” spomenuti standardi. Datoteke su kreirane kao  html interaktivne datoteke pomoću najnovijeg softvera  WEB Sketchada (koji je za nekomercijalnu uporabu besplatan!).

Ovi radovi omogućuju, ali i traže intenzivnu komunikaciju između učenika i nastavnika. Omogućuju učenicima individualizirano učenje, a nastavnicima ulogu “katalizatora” i suradnika u nastavnom procesu.

I prije kraja ovog teksta jedna anegdota koja je pretočena u strip zadatak i ilustracija je matematičkog neznanja nomenklature koja odlučuje o i donosi odluke bitne za život u RH.

Ministar financija u ime Vlade RH u Saboru je predložio da se PDV postotak poveća s 23% na 25% . Ključni mu je argument bio da je to povećanje od 2%. Sabor RH je to obrazloženje „progutao“ bez ikakvog matematičkog osporavanja ne uočavajući da je povećanje stvarno 8,7%, a ne 2%.

Evo slike tog strip-zadatka.

Za kraj

 Analizom postojeće školske matematike u RH (za razliku od svijeta) uočava se da niz ovih standarda nije niti dosljedno, niti kreativno ugrađen u kurikul. Postojeći kurikul ne “proizvodi planirani (obećavajući?)” uspjeh učenika u učenju.

To je vidljivo iz rezultata na maturi kao i na PISA i TIMSS testiranjima (jer drugih istraživanja u RH nema).

Istraživanje HUNI-ja o poznavanju elementarnih matematičkih funkcija (linearne, kvadratne i eksponencijalne) ukazuje da su naši učenici na vrlo niskoj razini (grubo rečeno: skoro nepismeni kao populacija) kao i da nam poučavanje (u najširem smislu) nije osuvremenjeno i da će “proizvoditi” i dalje loše znanje, tj. bit će nefunkcionalno.

Vrijeme je za novu nomenklaturu koja će uvažiti ove standarde i pokrenuti proces kojim će se realizirati zahtjev za  matematički pismenim građanima.

Može li to stari/novi ministar obrazovanja realizirati?

Odgovor vidimo s njegovim izborom suradnika i odlukama u ovom smislu.

Ja odgovor znam, ali je fer da svatko donese svoj sud o ovim činjenicama!